C U P R I N S

 

Prefaţă

3

Capitolul 5.  CALCULUL DIFERENŢIAL AL FUNCŢIILOR DE

MAI MULTE VARIABILE

 

5.1.  Funcţia de mai multe variabile

5

5.1.1.  Dependenţa funcţională dintre variabile

5

5.1.2.  Planul euclidian şi spaţiul euclidian.

Funcţii de 2 şi 3 variabile reale

6

5.1.3.  Spaţiul Rn. Funcţii de mai multe variabile

9

5.2.  Limita funcţiei de mai multe variabile

21

5.3.   Funcţii continue

32

5.3.1.  Continuitatea funcţiei de mai multe variabile într-un punct.

Proprietăţi de bază

32

5.3.2.  Continuitatea funcţiei de mai multe variabile pe un domeniu.

Continuitatea uniformă

36

5.4.   Derivatele şi diferenţialele funcţiilor de mai multe variabile

38

5.4.1.  Derivatele parţiale ale funcţiilor de mai multe variabile

38

5.4.2.  Funcţii diferenţiabile de mai multe variabile

40

5.4.3.  Diferenţialele funcţiei de mai multe variabile

51

5.4.4.  Derivarea funcţiilor compuse de mai multe variabile.

Derivata totală

55

5.4.5.  Derivarea funcţiilor omogene. Formula Euler

61

5.5.  Funcţii implicite

65

5.5.1.  Funcţii implicite şi derivarea lor

65

5.5.2.  Aplicaţii geometrice

72

5.6.  Derivata în raport cu o direcţie. Gradientul funcţiei

78

5.7.  Derivatele şi diferenţialele de ordin superior

82

5.7.1.  Derivatele parţiale de ordin superior

82

5.7.2.  Diferenţialele de ordin superior

88

5.7.3.  Formula Taylor pentru funcţii de mai multe variabile

94

5.8.  Extremele funcţiei de mai multe variabile

99

5.8.1.  Maximele şi minimele funcţiilor de mai multe variabile

99

5.8.2.  Metoda pătratelor mici

107

5.8.3.  Extremele condiţionate.

Valoarea cea mai mare şi valoarea cea mai mică ale funcţiei

de mai multe variabile

110

5.9.  Exerciţii la capitolul 5

118

5.10.  Indicaţii şi răspunsuri la capitolul 5

120

Capitolul 6.  CALCULUL INTEGRAL AL FUNCŢIEI DE

MAI MULTE VARIABILE REALE

 

6.1.  Integralele ce depind de parametri

124

6.1.1.  Integralele proprii ce depind de parametri

124

6.1.2.  Integralele improprii cu parametri

134

6.1.3.  Integralele Euler (funcţiile F "gamma" şi B "beta")

138

6.2.  Integralele curbilinii

152

6.2.1.  Integralele curbilinii de speţa 1 (după lungimea arcului)

152

6.2.2.  Aplicaţiile integralei curbilinii de speţa 1

163

6.2.3.  Integralele curbilinii de speţa 2 (după coordonate)

165

6.2.4.  Independenţa integralei curbilinii de speţa 2 de forma

drumului de integrare

177

6.3.  Integralele duble

190

6.3.1.  Definiţia integralei duble. Criterii de integrabilitate

190

6.3.2.  Proprietăţile integralelor duble

196

6.3.3.  Calculul integralelor duble

198

6.3.4.  Aplicaţiile integralelor duble

205

6.3.5.  Formula Green-Ostrogradski

213

6.3.6.  Schimbarea de variabile într-o integrala dublă

220

6.4.  Integralele triple

236

6.4.1.  Definiţia integralei triple şi proprietăţile ei de bază

236

6.4.2.  Calculul integralei triple

241

6.4.3.  Schimbarea de variabile în integrala triplă

250

6.4.4.  Aplicaţiile integralei triple

268

6.5.  Integralele de suprafaţă

271

6.5.1.  Integralele de suprafaţă de speţa 1

271

6.5.2.  Integralele de suprafaţă de speţa 2

277

6.5.3.  Relaţia dintre integralele de suprafaţă de speţa 1 şi 2

287

6.6.  Formulele Gauss-ostrogradschi şi Stokes

292

6.6.1.  Formula Gauss-Ostrogradschi

292

6.6.2.  Formula Stokes

296

6.7.  Elemente ale teoriei câmpurilor

300

6.7.1.  Câmpuri scalare şi vectoriale

300

6.7.2.  Operatorii diferenţiali de ordinul 1 şi 2.

Operatorii Hamilton şi Laplace

304

6.7.3.  Fluxul şi divergenţa câmpului vectorial

312

6.7.4.  Circulaţia şi rotorul câmpului vectorial

317

6.8.  Exerciţii la capitolul 6

319

6.9.  Indicaţii şi răspunsuri la capitolul 6

338

Capitolul 7.  ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE

 

7.1.  Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi

348

7.1.1.  Noţiuni generale

348

7.2.  Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi integrabile în cuadraturi

361

7.2.1.  Ecuaţia y'= g(x)

361

7.2.2.  Ecuaţia y'= g(y)

364

7.2.3.  Ecuaţii în diferenţiale totale

367

7.2.4.  Ecuaţii diferenţiale cu variabile separate şi separabile

370

7.2.5.  Ecuaţii diferenţiale omogene

376

7.2.6.  Ecuaţii diferenţiale liniare

382

7.2.7.  Ecuaţia Bernoulli

389

7.2.8.  Ecuaţia Riccati

391

7.2.9.  Factorul integrant

396

7.3.  Ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi nerezolvabile în raport cu derivata,

dar integrabile în cuadraturi

401

7.3.1.   Ecuaţia care nu conţine în mod explicit funcţia căutată

401

7.3.2.   Ecuaţia care nu conţine în mod explicit variabila independentă

403

7.3.3.   Ecuaţia Lagrange

405

7.3.4.   Ecuaţia Clairaut

409

7.4.  Ecuaţii diferenţiale de ordin superior.

Noţiuni generale

411

7.5.  Ecuaţii diferenţiale de ordin superior ce admit micşorarea ordinului

415

7.5.1.  Ecuaţia y(n) = f(x)

415

7.5.2.  Ecuaţia f(x,y(n)) = 0

416

7.5.3.  Ecuaţia F(x,y(k),y(k1),...,y(n) ) = 0

418

7.5.4.  Ecuaţia F(y(n-1),y(n)) = 0

418

7.5.5.  Ecuaţia F(y(n-2),y(n)) = 0

419

7.5.6.  Ecuaţia F(y,y',...,y(n)) = 0

420

7.5.7.  Ecuaţia F(x,y,y',...,yn) = 0, unde funcţia F este  omogenă

în raport cu y, y',..., yn

421

7.6.  Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior

423

7.6.1.  Noţiuni generale despre ecuaţii liniare de ordin superior

423

7.6.2.  Ecuaţii liniare omogene cu coeficienţi arbitrari

425

7.6.3.  Ecuaţii liniare omogene cu coeficienţi constanţi

436

7.6.4.  Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi arbitrari

443

7.6.5.  Ecuaţii liniare neomogene cu coeficienţi constanţi

448

7.6.6.  Ecuaţia diferenţială Euler

459

7.6.7.  Ecuaţia diferenţială Cebâsev

461

7.7.  Sisteme de ecuaţii diferenţiale

462

7.8.  Exerciţii la capitolul 7

472

7.9.  Indicaţii şi răspunsuri la capitolul 7

475

Capitolul 8.  SERII

 

8.1.  Serii numerice

479

8.1.1.  Serii numerice. Noţiuni generale

479

8.1.2.  Serii cu termeni pozitivi

490

8.1.3.  Serii cu termeni oarecare

507

8.2.  Serii de funcţii şi de puteri

514

8.2.1.  Serii de funcţii

514

8.2.2.  Serii de puteri. Proprietăţi de bază

528

8.2.3.  Serii Taylor şi MacLaurin

539

8.2.4.  Dezvoltarea funcţiilor elementare în serii de puteri.

Aplicaţii

543

8.3.  Serii Fourier

553

8.3.1.  Sistemul ortogonal de funcţii. Seria generalizată Fourier

553

8.3.2.  Seria trigonometrică Fourier. Teorema Dirichlet

558

8.3.3.  Diverse dezvoltări în seria Fourier

564

8.3.4.  Abaterea medie pătratică a funcţiilor.

proximaţia funcţiei prin polinoame trigonometrice

570

8.3.5.  Forma complexă a seriei Fourier

572

8.3.6.  Integrala Fourier

574

8.3.7.  Integrala Fourier în formă complexă.

Transformata Fourier

580

8.4.  Exerciţii la capitolul 8

582

8.5.  Indicaţii şi răspunsuri la capitolul 8

586

Anexă:   Lucrări de control

589

Bibliografie

630

Cuprins

632